2476. 生肖的诅咒：分形之门
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256MB
简单
递归算法
题目描述
齐夏在挑战生肖“地龙”时，被困在了一个由“分形”结构组成的迷宫门前。这扇门上刻着复杂的纹路，纹路中流淌着能量核心，只有算出特定深度下新产生的核心总数才能开启大门。
这扇门的能量生长结构定义如下：
1. **初始状态**：在深度为 $1$（即第 $1$ 层）时，只有一个初始核心。
2. **分裂规则**：每一层级中，能够分裂的核心会分裂出 **$3$ 个子核心**。
3. **活跃与沉睡**：在每一级分裂出的 $3$ 个子核心中，有 **$2$ 个是“活跃”的**，**$1$ 个是“沉睡”的**。
4. **后续生长**：只有“活跃”的核心在下一级会继续按照规则分裂；“沉睡”的核心在下一级则保持原样，不再产生新的核心。
齐夏想知道，在深度为 $N$ 时，这一层级**新产生**的核心一共有多少个？
输入格式
- 一个正整数 $N$，表示迷宫门的能量深度。
输出格式
- 一个整数，表示第 $N$ 层新产生的核心数量。
样例 1
输入 (Input)
输出 (Output)
样例说明
- 第 1 层：$1$ 个初始核心（活跃）。
- 第 2 层：由第 1 层分裂产生 $3$ 个新核心（其中 $2$ 活 $1$ 睡）。此时第 2 层新产生数为 $3$？**注意**：为了简化逻辑，题目要求计算由活跃路径衍生出的规模。
- **更正逻辑引导**：
- 第 1 层新产生：$1$ 个。
- 第 2 层：第 1 层的这 $1$ 个核心分裂，产生新核心。其中活跃的会继续。
- 实际上，每一层新产生的“活跃核心”数量都在翻倍。
- 第 1 层：$1$ 个活跃核心。
- 第 2 层：产生 $2$ 个活跃核心（以及 $1$ 个沉睡）。
- 第 3 层：由第 2 层的 $2$ 个活跃核心产生 $4$ 个活跃核心（以及 $2$ 个沉睡）。
- 第 4 层：由第 3 层的 $4$ 个活跃核心产生 $8$ 个活跃核心。
- 对于 $100\%$ 的数据：$1 \le N \le 30$。
- 请使用**递归算法**实现。
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操作成功